A questão apresentada envolve uma análise de desigualdades e propriedades de números reais positivos. Vamos explorar a afirmação dada e verificar sua validade.
Sejam x e y números reais positivos tais que x.y 1. A afirmação a ser verificada é se é correto afirmar que x + y 2.
Para começar, vamos considerar a desigualdade básica entre a média aritmética e a média geométrica de dois números positivos. A desigualdade entre médias afirma que para quaisquer números reais positivos a e b, a seguinte relação é verdadeira:
a + b 2√ab
No nosso caso, temos x e y como números reais positivos. Aplicando a desigualdade entre médias, temos:
x + y 2√xy
Dado que x.y 1, podemos substituir xy por 1 na desigualdade:
x + y 2√1
Simplificando, obtemos:
x + y 2
Portanto, a afirmação de que x + y 2 é verdadeira, desde que x e y sejam números reais positivos e x.y 1.
Vamos agora considerar alguns exemplos específicos para ilustrar a validade da afirmação. Suponha que x = 2 e y = 1/2. Temos:
x.y = 2 1/2 = 1
E a soma x + y é:
x + y = 2 + 1/2 = 2,5
Note que 2,5 2, confirmando a desigualdade.
Outro exemplo: se x = 3 e y = 1/3, temos:
x.y = 3 1/3 = 1
E a soma x + y é:
x + y = 3 + 1/3 = 3,33
Novamente, 3,33 2, confirmando a desigualdade.
Portanto, a afirmação de que x + y 2 é correta para quaisquer números reais positivos x e y tais que x.y 1.
Além disso, é importante notar que a igualdade x + y = 2 ocorre apenas quando x = y = 1, pois nesse caso:
x.y = 1 1 = 1
E a soma x + y é:
x + y = 1 + 1 = 2
Em todos os outros casos, a soma x + y será estritamente maior que 2.
Essa análise mostra que a desigualdade x + y 2 é uma consequência direta da desigualdade entre médias e da condição dada x.y 1.
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